28250

_{28250 (Codruț-Sorin Zmicală)}

Calculați

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}+x^{n}}})^{n}dx.$$

Soluție:

Fie $a_{n}=\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}+x^{n})^{n}dx$, n$\in \mathrm {N} ^{*}$. Cu binomul lui Newton avem $({\sqrt {x}}+x^{n})^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{\tfrac {(2n-1)k+n}{2}}$, iar prin integrare pe [0,1] obținem

$$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {2}{(2n-1)k+n+2}}.$$

Pentru orice $k\in \{0,1,...,n\}$ avem

$${\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{2}+1}}\leqslant {\binom {n}{k}}\cdot {\frac {2}{(2n-1)k+n+2}}\leqslant {\binom {n}{k}},$$

iar prin însumarea acestor inegalități obținem

$${\frac {2^{n}}{n^{2}+1}}\leqslant a_{n}\leqslant 2^{n}.$$

Rezultă ${\frac {2}{\sqrt[{n}]{n^{2}+1}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leqslant 2$, pentru orice $n\geqslant 2$. Cum $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}+1}}=1$, din teorema cleștelui obținem

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=2.$$