28450

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie $n\in$ ℕ, $n\geq 4$ și $p\in \{1,2,...,[n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ și $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$, formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq 1}$ și $(b_{k})_{k\geq 1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n+p+1$ elemente distincte ale mulțimii $A\cup B$ există două a căror sumă este egală cu $a_{2p}+b_{p}.$

Soluție:

Fie $r\in$ ${\displaystyle \mathbb {R^{*}} }$ rația primei progresii. Observăm că $a_{2p}+b_{p}=a_{1}+b_{1}+p\cdot r=a_{p+1}+b_{1}=a_{p+2}+b_{2}=...=a_{n}+b_{n-p}.$ (1) Presupunem că putem alege $n+p+1$, elemente distincte ale lui $A\cup B$, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{2p} + b_p.} Din (1) deducem că printre aceste Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n + p + 1} elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}} . Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2n - (n - p) = n + p < n + p + 1} , rezultă că printre cele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n + p + 1} numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.