27020 (Gheorghe Szöllösy)
Să se calculeze suma
Soluție:
Fie
coeficientul lui
din rezolvarea lui
![{\displaystyle P(X)=\left(X+\left\lfloor {\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)^{2n}=\left(X(1+X)+\left\lfloor {\frac {1}{4}}\right\rfloor \right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}X^{(n-k)}\left({\frac {1}{4^{k}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21035320eca64ad4a7cde5087c47d709b2228dc)
Avem
, iar pe de altă parte,
Nu s-a putut interpreta (eroare de sintaxă): {\displaystyle a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = \\ = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) }