27020

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}\cdot (n-2k)!}},\quad n\geq 1$

Soluție:

Fie $a_{n}$ coeficientul lui $X^{n}$ din rezolvarea lui <math> P(X) = (X + \left[\dfrac{1}{2}\right])^2n = (X(1+X) + [\dfrac{1}{4}\right])^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^(n-k) \left[\dfrac{1}{4^k}\right].