S:E18.131

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

Soluție

Fie $k$ numărul căutat. Atunci

$$x+{\bigl (}x+1{\bigr )}+\ldots +{\bigl (}x+2017{\bigr )}=k^{2}$$

ceea ce revine, în mod echivalent, la

$$1009\cdot {\bigl (}2x+2017{\bigr )}=k^{2}$$

Deci $1009|k^{2}$, iar cum $1009$ este număr prim, se deduce că $1009|k$.

Atunci, există $l\in \mathbb {N} ^{\ast }$, cel mai mic posibil, pentru care $k=1009\cdot l$.

Se obține $2x=1009\cdot l^{2}-2017\in \mathbb {N}$, de unde rezultă $l=3$ și

$$k=3027$$