E:16892

E:16892 (Nicolae Mușuroia)

Aflați suma divizorilor pari ai celui mai mare număr natural $a$, cu $a<1000$, pentru care suma divizorilor impari este egală cu $24$.

Soluție

Căutăm numere de trei cifre, de forma $2^{m}\cdot b$, cu $m\in \mathbb {N} ^{\ast }$ și $b$, unde suma divizorilor numărului natural impar $b$ este egală cu $24$.

Avem două posibilități:

$$24=1+23$$

și

$$24=1+3+5+3\cdot 5,$$

deci $b=23$ și $b=15$.

Din $100\leq 2^{m}\cdot 23\leq 999$, rezultă $m\in \left\{3,4,5,6\right\}$.

Deducem că numerele naturale de trei cifre care îndeplinesc condiția problemei sunt

$2^{3}\cdot 23$, $2^{4}\cdot 23$, $2^{5}\cdot 23$, $2^{3}\cdot 15$, $2^{4}\cdot 15$, $2^{5}\cdot 15$, $2^{6}\cdot 15$.

Dintre acestea, cel mai mare este $2^{6}\cdot 15$. Suma divizorilor pari ai numărului $a=2^{6}\cdot 15$ este

$$S=2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+2^{2}\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+\ldots +2^{6}\left(1+3+5+3\cdot 5\right)=3024.$$