E:16910

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^{4}+4y^{4}=3796.$

Soluție

Cum

$$x^{4}+4y^{4}=\left(x^{2}+2y^{2}\right)^{2}-4x^{2}y^{2}=\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right),$$

ecuația dată revine la

$$\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right)=3796.$$

Din $2y^{2}-2xy\,\vdots \,2$ și $2y^{2}+2xy\,\vdots \,2$ se deduce că expresiile pozitive Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + 2y^2-2xy} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 +2y^2 +2xy} au aceeași paritate.

Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73} , sunt posibile situațiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x^2+2y^2-2xy = 26 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 146 \end{cases}} și

$${\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=146\\x^{2}+2y^{2}+2xy=26.\end{cases}}$$

Se obțin soluțiile <math>\left(x,y\right)\in \left\{ \left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right) \right\}<.math>