E:15414

E:15414 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c, d} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 29a^5 + 39b^2 + 38c + 20d = 2019} .

Soluție

Din $29a^{5}\leq 2019$ deducem că $a^{5}\leq 69$ și deci $a=2$.

Relația devine $39b^{2}+38c+20d=1091,\quad (1).$

Din $39b^{2}\leq 1091$ deducem că $b^{2}\leq 27$.

Dacă $b=2$, relația $(1)$ este imposibilă deoarece membrul stâng este par, iar membrul drept este impar.

Dacă $b=3$, relația $(1)$ devine:

$38c+20d=740,\quad {\text{sau}}\quad 19c+10d=370.\quad (2).$

Cum $10d$ și $370$ sunt numere pare, rezultă că $19c$ este număr par. Deci $c=2$.

Înlocuind în $(2)$, nu obținem valoarea pentru $d$ un număr natural.

Dacă $b=5$, relația $(1)$ devine:

$38c+20d=116,\quad {\text{sau}}\quad 19c+10d=58.\quad (3).$

Cum $10d$ și $58$ sunt numere pare, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 19c} este număr par și atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 2} . Înlocuind în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3)} , obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d = 2} .

Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \geq 7} , atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2 > 27} , ceea ce nu convine.