26927

26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Polinomul $f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in \mathbb {R} \left[X\right]$ are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea $b^{2}-4ac<ad-4a^{2}$. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.

Soluție.

Inegalitatea $b^{2}-4ac<ad-4a^{2}$ este echivalentă cu $\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\cdot {\frac {c}{a}}<{\frac {d}{a}}-4$, ceea ce este echivalent cu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+4<2\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}\right)$.

Presupunem prin absurd că $x_{1},x_{2},x_{3}>0$. Dintre numerele $x_{1}-2$, $x_{2}-2$, $x_{3}-2$, cel puțin două au același semn; fie acestea $x_{1}-2$ și $x_{2}-2$. Atunci $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)\geq 0$, de unde $x_{3}\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)\geq 0$. Cum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\geq 2x_{1}x_{2}$ și $x_{3}^{2}-4x_{3}+4\geq 0$, prin însumarea celor trei relații obținem $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}\geq 2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$, ceea ce duce la o contradicție.