E14309

E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)

Determinați numerele naturale $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ astfel încât să avem egalitatea:

2012 = $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$

Arătați că a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = m² + n² , m,n ∈ $\mathrm {N}$

Soluție.

Dacă $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ sunt mai mici decât 3 atunci, $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$ poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum $2012=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{5}+2\cdot 3^{6}$ avem $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=2+1+1+2+0+2+2=10=1^{2}+3^{2}$. Dacă cel puțin unul dintre numerele $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$ nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.