15347

15347 (Meda Bojor, Baia Mare)

Determinați numerele prime $p,q,r,s$ pentru care este adevărată relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \cdot q \cdot r \cdot s = 26(p + q + r + s)} .

Soluție.

Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 26 \mid p \cdot q \cdot r \cdot s} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p, q, r, s} sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} , iar altul este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 13} .

Fie $p=2$ și $q=13$. Atunci relația devine $r\cdot s=r+s+15$ sau $r\cdot s-r-s+1=16$, pe care o putem scrie: $(r-1)(s-1)=16$.

Cum $r$ și $s$ sunt numere prime, găsim $r=s=5$. Dacă alegeam $p=2$ și $r=13$, găseam $q=s=5$, și așa mai departe; toate combinațiile posibile.