S:E15.316

E:15316 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numărul prim $p$ și numărul natural $q$ astfel încât

$$p^{2}+5^{p}+31=3181^{q}.$$

Soluție:

Putem scrie $p^{2}+5^{p}=3181^{q}-31$. Cum ultima cifră a lui $3181^{q}-31$ este $0$ și $5^{p}$ este divizibil cu $5$, deducem că $p=5$. Atunci relația devine $5^{2}+5^{5}+31=3181^{q}$ sau $3181=3181^{q}$, de unde $q=1$.