Gazeta matematică 2013

Gazeta Matematică 1/2013

E:14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)

Se consideră numărul natural $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+.....+a_{2012}^{2}$ unde $a_{1},a_{2},a_{3},.....,a_{2012}$ sunt numere prime, mai mari sau egale cu $5$. Arătați că $B=2\cdot A+2013$ nu este pătrat perfect.

26713 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Se consideră șirul de numere reale $(x_{n})_{n\geq 0}$ și $(y_{n})_{n\geq 0}$ cu $x_{n}\geq 1$, $y_{n}\geq 1$, pentru orice $n\in \mathbb {N}$, și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})=2$. Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ și $\lim _{n\to \infty }y_{n}$.

Gazeta Matematică 6-7-8/2013

14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul $n$ , notăm $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ și $0!=1$.

a) Arătați că $\left(n+1\right)\cdot {\bigl (}n+1{\bigr )}!-n\cdot n!=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$

b) Dacă $A=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!$, atunci $A$ se divide cu $2013^{2}$.