S:L22.58

S:L22.58 (Vasile Giurgi)

Determinați $a\in \mathbb {R}$ pentru care ecuația

$${\frac {x^{\lg x}}{10^{a}}}+\lg ^{2}x=x+\lg x+a$$

are o soluție unică în $\mathbb {R}$.

Soluție:

Evident avem $x>0$.

Ecuația este echivalentă cu

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^{\lg x} \left( 10^{\lg^2 x - \lg x -a} -1 \right) + \lg^2 x - \lg x -a = 0.} Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lg^2 x - \lg x -a >0} , atunci pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x>0} avemFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\left(\lg^2 x - \lg x -a\right)\le 0<10^{\lg x} \left( 10^{\lg^2 x - \lg x -a} - 1\right)} deci ecuația nu are soluții.

Dacă $\lg ^{2}x-\lg x-a<0$, atunci pentru orice $x>0$ avem

$$10^{\lg x}\left(10^{\lg ^{2}x-\lg x-a}-1\right)<0\leq -\left(\lg ^{2}x-\lg x-a\right)$$

deci ecuația nu are soluții.

În concluzie este necesar ca

$$\lg ^{2}x-\lg x-a=0.$$

Ecuația inițială are soluție unică dacă $\Delta =0$, ceea ce implică

$$a=-{\frac {1}{4}}.$$