14683: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
 
Line 11: Line 11:
'''Soluție:'''
'''Soluție:'''


Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză.
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

Latest revision as of 14:50, 16 January 2024

14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Enunț:

Se consideră triunghiul ABC în care . Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă , arătați că BM = MC.


Soluție:

Notăm și . Avem și , din ipoteză. Atunci de unde . Pe de altă parte avem ca unghi exterior . Cum AM = AC vom avea . Acum în avem , de unde , apoi și . Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar (1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.