14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Enunț:

Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă $2^{x}+3^{y}=2^{y}+3^{x}$, atunci x = y.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $2^{x}-2^{y}=3^{x}-3^{y}$. Presupunem că $x\neq y$; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$. Avem $2^{y}<3^{y}$ și $2^{x-y}-1<3^{x-y}-1$, de unde $2^{y}(2^{x-y}-1)<3^{y}(3^{x-y}-1)$, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.