14683: Difference between revisions

Revision as of 11:43, 16 January 2024

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

$AB=BA;$
matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$ .

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $(2^{x-y}-1)\cdot (3^{x-y}-1)$ . Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

@@ Line 9: / Line 9: @@
 '''Soluție:'''
-Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.
+Relația din enunț se mai poate scrie <math>(2^{x-y} - 1) \cdot (3^{x-y} - 1)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.
 Dacă x &gt; y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1)  3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.