14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),} care verifică simultan condițiile:

1. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB = BA;}
2. matricea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} este nilpotentă și matricea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)} . Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.