E:14331: Difference between revisions

Revision as of 20:34, 27 December 2023

E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Fie $n>=2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.
Soluție.
Avem Failed to parse (syntax error): n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) . Deoarece $n^{2}$ și $n^{2}+1$ sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci $n^{4}+n^{2}+3$ este număr impar. Presupunem că există două numere prime, $a$ și $b$ astfel încât $n^{4}+n^{2}+3=a+b.$ Din cele de mai sus unul dintre numere $a$ și $b$ trebuie să fie $2$ . Alegem $a=2.$ Atunci, $n^{4}+n^{2}+3=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1).$ Cum $(n^{2}-n+1)$ și $(n^{2}+n+1)$ sunt mai mari $1$ în condițiile date, rezultă $b$ nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție.'''
 <br>
-Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
+Avem <math display>n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
 b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.