E:14331: Difference between revisions
Pagină nouă: '''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' <br> ''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.'' <br> '''Soluție.''' |
No edit summary |
||
| Line 4: | Line 4: | ||
<br> | <br> | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
<br> | |||
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math> | |||
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă. | |||
Revision as of 20:32, 27 December 2023
E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n >= 2 }
un număr natural. Arătați că numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^4 + n^2 + 3 }
nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.
Soluție.
Avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 }
. Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^2}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^2 + 1}
sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunciFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^4 + n^2 + 3}
este număr impar. Presupunem că există două numere prime,Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a}
și astfel încât Din cele de mai sus unul dintre numere și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}
trebuie să fieFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2}
. Alegem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=2.}
Atunci, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).}
Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n^2 - n + 1)}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n^2 + n + 1)}
sunt mai mari Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1}
în condițiile date, rezultă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}
nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.
