E:14892: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
Line 18: Line 18:
Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.
Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.


Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = m \left(\widearc{MC}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.
Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.


În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.
În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.

Revision as of 20:08, 20 December 2023

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul cu și punctele , , , . Punctul este situat în interiorul triunghiului astfel încât și , punctul astfel încât cu , iar și astfel încât și .

  1. Arătați că
  2. Determinați măsura unghiului
  3. Arătați că

Soluție miniatura

Folosim notațiile și . Atunci și .

Cum , avem și , deci triunghiul este echilateral.

În triunghiul avem și , deci . Cum , rezultă că triunghiul este isoscel, cu .

Fie simetricul punctului față de punctul . Atunci triunghiul este dreptunghic, cu și , deci , deci patrulaterul este inscriptibil.

Notăm . Avem . Atunci .

În triunghiul avem și , deci . Cum , rezultă că triunghiul este isoscel, cu .

Deci punctele , , , , sunt conciclice.

a) Avem Failed to parse (unknown function "\widearc"): {\displaystyle m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\widearc{RT}\right) = m\left(\widearc{RM}\right) + m\left(\widearc{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)} , deci

b) Avem Failed to parse (unknown function "\widearc"): {\displaystyle m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\widearc{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.}