28354: Difference between revisions

Revision as of 13:28, 4 December 2023

28354 (Florin Bojor)

Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$ , $F$ , $G$ și $H$ situate pe segmentele $OA$ , $OB$ , $OC$ , respectiv $OD$ , astfel încât $AE=BF=CG=DH$ . Notăm cu $I$ , $J$ , $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$ , $BC$ , $CD$ , respectiv $DA$ și cu $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ mijloacele segmentelor $EF$ , $FG$ , $GH$ , respectiv $HE$ . Arătați că:

a) punctele $I$ , $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$ .
b) $AC\not =BD$ , punctele de intersecție ale dreptelor $IM$ , $NJ$ , $PK$ și $LQ$ sunt vârfurile unui dreptunghi.

Soluție. a)Fie $AE=BF=CG=x$ și versorii ${\overrightarrow {i}}$ și ${\overrightarrow {j}}$ ai vectorilor ${\overrightarrow {AC}}$ , respectiv ${\overrightarrow {BD}}$ .

Deoarece $I$ și $M$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ , respectiv $EF$ , obținem:

${\overrightarrow {IM}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {BF}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ . (1)

Cum $K$ este mijloxul segemntului $CD$ ,deducem:

${\overrightarrow {IK}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BD}})={\frac {AC}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {BD}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ (2)

Din (1) și (2) rezultă ca $I$ , $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$ .

b) Notăm ${\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OR}}$ și ${\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OS}}$ .

Se observă că semidreptele $(OR$ și $(OS$ sunt bisectoarele unghiurilor $COD$ , respectiv $AOD$ . Ca în (1),deducem că ${\overrightarrow {PK}}={\overrightarrow {IM}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OR}}$ , iar ${\overrightarrow {JN}}={\overrightarrow {QL}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OS}}$ .

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că $IM\perp JN$ , $JN\perp KP$ , $KP\perp LQ$ și $LQ\perp IM$ . Dar $AC\not =BD$ , deci $I$ , $M$ și $K$ sunt necoliniare, așadar $IM\parallel KP$ , și analog $JN\parallel LQ$ . Notând cu $X$ , $Y$ , $Z$ , $W$ intersecțiile perechilor de drepte $IM$ și $JN$ , $JN$ și $KP$ , $KP$ și $LQ$ , $LQ$ și $IM$ , din cele de mai înaite rezultă că $XYZW$ este dreptunghi.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
 <math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
-<li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
+<ol><li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
 <li> b)  <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''
@@ Line 21: / Line 21: @@
   \overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot  \overrightarrow{j} </math> (2)
-Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.
+Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.
 b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.
-Se observă că  semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.
+Se observă că  semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>, iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.
-Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math>, <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt necoliniare, așadar <math>IM \parallel KP</math>, și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.
+Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math>, <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>. Dar <math>AC \not= BD</math>, deci <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt necoliniare, așadar <math>IM \parallel KP</math>, și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.