28354: Difference between revisions

Revision as of 13:25, 4 December 2023

28354 (Florin Bojor)

Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$ , $F$ , $G$ și $H$ situate pe segmentele $OA$ , $OB$ , $OC$ , respectiv $OD$ , astfel încât $AE=BF=CG=DH$ . Notăm cu $I$ , $J$ , $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$ , $BC$ , $CD$ , respectiv $DA$ și cu $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ mijloacele segmentelor $EF$ , $FG$ , $GH$ , respectiv $HE$ . Arătați că:

a) punctele

I

,

M

și

K

sunt coliniare dacă și numai dacă

AC=BD

.

b)

AC\not =BD

, punctele de intersecție ale dreptelor

IM

,

NJ

,

PK

și

LQ

sunt vârfurile unui dreptunghi.

Soluție. a)Fie $AE=BF=CG=x$ și versorii ${\overrightarrow {i}}$ și ${\overrightarrow {j}}$ ai vectorilor ${\overrightarrow {AC}}$ , respectiv ${\overrightarrow {BD}}$ .

Deoarece $I$ și $M$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ , respectiv $EF$ , obținem:

${\overrightarrow {IM}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {BF}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ . (1)

Cum $K$ este mijloxul segemntului $CD$ ,deducem:

${\overrightarrow {IK}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BD}})={\frac {AC}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {BD}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ (2)

Din (1) și (2) rezultă ca $I$ , $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$ .

b) Notăm ${\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OR}}$ și ${\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OS}}$ .

Se observă că semidreptele $(OR$ și $(OS$ sunt bisectoarele unghiurilor $COD$ , respectiv $AOD$ . Ca în (1),deducem că ${\overrightarrow {PK}}={\overrightarrow {IM}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OR}}$ ,iar ${\overrightarrow {JN}}={\overrightarrow {QL}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OS}}$ .

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că $IM\perp JN$ , $JN\perp KP$ , $KP\perp LQ$ și $LQ\perp IM$ .Dar $AC\not =BD$ , deci $I$ , $M$ și $K$ sunt necoliniare, așadar $IM\parallel KP$ , și analog $JN\parallel LQ$ . Notând cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} intersecțiile perechilor de drepte Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle IM} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle JN} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle JN} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle KP} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle KP} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle LQ} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle LQ} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle IM} , din cele de mai înaite rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle XYZW} este dreptunghi.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28354 (Florin Bojor)'''
-''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
+''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
 <math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
-<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
+<li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
-<li><i> b)  <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.''</i></li></ol>
+<li> b)  <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''