28437: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
Line 14: Line 14:
Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
</br>
</br>
Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1</math> deoarece din
Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1 </math> deoarece din  
<math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>

Revision as of 19:25, 8 November 2023

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul cu termenii strict pozitivi, dat de relația Determinați

Soluție:
Pentru orice avem , deci . Rezultă că pentru orice are loc


Deoarece pentru orice deducem că șirul este strict crescător.
Dacă șirul este mărginit superior, atunci este convergent cu Trecând la limită în relația (1), obținem de unde , absurd! Prin urmare, șirul este crescător și nemărginit superior, deci .
Atunci Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1 } deoarece din rezultă că