E:15990: Difference between revisions

Latest revision as of 07:19, 8 November 2023

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numărul ${\overline {xyzt}}={\overline {ab}}\cdot {\overline {ac}}$ , știind că ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ și ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$ , unde p și q sunt numere prime.

Soluție:

Din ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ rezultă ${\overline {ab}}+{\overline {ac}}=10\cdot p^{2}$ . Adunăm cu ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$ și obținem $2\cdot {\overline {ab}}=10\cdot p^{2}+q^{2}$ . Astfel $q^{2}$ este par, de unde $q$ este par, adică $q=2$ , deoarece $q$ este prim. Înlocuind, obținem ${\overline {ab}}=5\cdot p^{2}+4$ .

Pentru $p=2$ se obține ${\overline {ab}}=22$ iar ${\overline {ac}}=18$ , numere ce convin deoarece nu încep cu aceeași cifră.

Pentru $p=3$ se obține ${\overline {ab}}=47$ și ${\overline {ac}}=43$ iar ${\overline {xyzt}}=2021$ .

Pentru $p=5$ se obține ${\overline {ab}}=127$ care nu este număr de două cifre.

@@ Line 7: / Line 7: @@
 ''Din <math>\overline{a,b}+\overline{a,c}=p^2</math> rezultă <math>\overline{ab}+\overline{ac}=10\cdot p^2</math>. Adunăm cu <math>\overline{ab}-\overline{ac}=q^2</math> și obținem <math>2\cdot \overline{ab}=10\cdot p^2+q^2</math>. Astfel <math>q^2</math> este par, de unde <math>q</math> este par, adică <math>q=2</math>, deoarece <math>q</math> este prim. Înlocuind, obținem <math>\overline{ab}=5\cdot p^2+4</math>.''
-''Pentru <math>p=2</math> se obține <math>\overline{ab}=22</math> iar <math>\overline{ac}=18</math>, numere ce convin deoarece nu încep cu aceeași cifra.''
+''Pentru <math>p=2</math> se obține <math>\overline{ab}=22</math> iar <math>\overline{ac}=18</math>, numere ce convin deoarece nu încep cu aceeași cifră.''
 ''Pentru <math>p=3</math> se obține <math>\overline{ab}=47</math> și <math>\overline{ac}=43</math> iar <math>\overline{xyzt}=2021</math>.''
 ''Pentru <math>p=5</math> se obține <math>\overline{ab}=127</math> care nu este număr de două cifre.''