28315: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
← Older editNewer edit →
VisualWikitext
No edit summary
No edit summary
Line 1: Line 1:
'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎
'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎
<br />
<br />
<br />
<br />''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Soluție:'''  
'''Soluție:'''  
<br />
<br />
<br />
<br />Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>|a| = |b| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>|a| = |b| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
.</math>
.</math>
<br />
<br /> Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar  din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math display="block">m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar  din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math>m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>, iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul  poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul  poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
</math>.
</math>.


&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință,<br />
Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință,<math display="block">
<math>
\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
</math>
</math>
, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.
, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.

Revision as of 12:46, 21 October 2023

28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia) ‎

Fie un poligon regulat și un punct în interiorul poligonului. Notăm cu , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2, \ldots, M_n} simetricele punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , poligoanele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2 \ldots M_n} au același centru de greutate.

Soluție:

Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(m)} față de dreapta determinată de punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(a)} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(b)} , unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |a| = |b| = 1} , este punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M^{\prime} } de afix Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^{\prime} = a + b - ab\overline{m} .}
Într-adevăr, din faptul că mijlocul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N(n)} al segmentului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [MM^{\prime}]} aparține dreptei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} , rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}} , adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{n-a}{b-a}} = Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), } iar din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MM^{\prime} \perp AB} , deducem că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}} , adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)} . Având în vedere că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = \frac{m+m^{\prime}}{2}} , din relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)} iar din relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2)} că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).} Adunând egalitățile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3)} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (4)} obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}} .

Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_n} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1} să fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}} . Ca urmare, afixul punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_k} este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon^k} , pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \in \{1, 2, \ldots, n\} } .

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} afixul punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_k} afixul punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_k, 1 \leq k \leq n.} Folosind lema, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}} , pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} . În consecință,Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0 } , deci centrul de greutate al poligonului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1M_2 \ldots M_n} este originea, indiferent de alegerea punctului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} .

Retrieved from "http://wiki.universitas.ro/index.php?title=28315&oldid=6999"