27020

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}\cdot (n-2k)!}},\quad n\geq 1$

Soluție:

Fie $a_{n}$ coeficientul lui $X^{n}$ din rezolvarea lui

$$P(X)=\left(X+\left\lfloor {\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)^{2n}=\left(X(1+X)+\left\lfloor {\frac {1}{4}}\right\rfloor \right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}X^{(n-k)}\left({\frac {1}{4^{k}}}\right)$$

.

Avem $a_{n}=\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)C_{2}n^{n}$, iar pe de altă parte,