2015-12-4

$Problema:$ Fie $K$ un corp cu $m\geq 2$ elemente si $f\in K[X]$. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

$(i)$ Exista $g\in K[X]$ astfel incat $f(X)=g(X^{m-1})$;

$(ii)$ Pentru orice $a\in K^{*}$ avem $f(X)=f(aX)$.

$Solutie$

$(i)\rightarrow (ii)$ Din teorema lui Lagrange aplicata grupului $(K^{*},\cdot )$ avem ca $x^{m-1}=1,\forall x\in K^{*}$, deci $f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)$.

$(ii)\rightarrow (i)$ $(Robert\ Rogozsan)$

Ne folosim de urmatoarea

$Lema:$ Fie $F$ un corp finit cu $n$ elemente. Atunci $\sum _{a\in F}a^{k}={\begin{cases}0&{\text{, dacă }}n{\text{nu divide pe}}k-1&{\text{, dacă }}n{\text{divide pe}}k\end{cases}}$