2015-12-4

$Problema:$ Fie $K$ un corp cu $m\geq 2$ elemente si $f\in K[X]$. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Exista $g\in K[X]$ astfel incat $f(X)=g(X^{m-1})$;

(ii) Pentru orice $a\in K^{*}$ avem $f(X)=f(aX)$.

$Solutie$ $(i)\rightarrow (ii)$ Din teorema lui Lagrange aplicata grupului $(K^{*},\cdot )$ avem ca $x^{m-1}=1,\forall x\in K^{*}$, deci $f(aX)=g((aX)^{m-1}=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)$.