2015-12-1: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
Line 2: Line 2:


<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>.
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).
 
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

Revision as of 14:02, 2 September 2023

Fie o funcție crescătoare, derivabilă pe cu . Să se arate ca exista cel puțin un punct , cu proprietatea că

.

Daca , cum e crescătoare, vom avea ca , deci . Atunci luam arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru (luam din ).

In functie de cum e fata de , concluzia se verifica pentru (). Nu avem nevoie de faptul ca e derivabila, nici de .