2015-12-1: Difference between revisions

Revision as of 13:52, 2 September 2023

$Problema:$ Fie $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ o funcție crescătoare, derivabilă pe $[-1,1]$ cu $f'(0)\neq 0$ . Să se arate ca exista cel puțin un punct $c\in (-1,1),c\neq 0$ , cu proprietatea că

2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0

.

$Solutie:\ (Robert\ Rogozsan)$ Daca $\ f(0)\geq 0$ , cum $f$ e crescătoare, vom avea ca $f(t)\geq 0,\forall t\geq 0$ , deci $2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0,\forall t\geq 0$ . Atunci luam $c\in (0,1)$ arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru $\ f(0)\leq 0$ . $Observatie:$ In functie de cum e $f(0)$ fata de $0$ , concluzia se verifica pentru $oricec\in (0,1)$ ( $(-1,0)$ ). Nu avem nevoie de faptul ca $f$ e derivabila, nici de $f'(0)\neq 0$ .

@@ Line 2: / Line 2: @@
 <math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
-Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>. Cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math>.
+Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math>.
 <math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.