2015-12-1: Difference between revisions

Revision as of 13:50, 2 September 2023

$Problema:$ Fie $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ o funcție crescătoare, derivabilă pe $[-1,1]$ cu $f'(0)\neq 0$ . Să se arate ca exista cel puțin un punct $c\in (-1,1),c\neq 0$ , cu proprietatea că

2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0

.

$Solutie:\ (Robert\ Rogozsan)$ Cazul $1:\ f(0)\geq 0$ . Cum $f$ e crescătoare, vom avea ca $f(t)\geq 0,\forall t\geq 0$ , deci $2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0\forall t\geq 0$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.
+<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.
 <math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
 Cazul <math>1: \ f(0) \geq 0</math>. Cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0 \forall t \geq 0</math>.