2015-12-1

$Problema:$ Fie $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ o funcție crescătoare, derivabilă pe $[-1,1]$ cu $f'(0)\neq 0$. Să se arate ca exista cel puțin un punct $c\in (-1,1),c\neq 0$, cu proprietatea că $2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0$.

$Solutie:\ (Robert\ Rogozsan)$ Cazul $1:\ f(0)\geq 0$. Cum $f$ e crescătoare, vom avea ca $f(t)\geq 0,\forall t\geq 0$, deci $2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0\forall t\geq 0$.