3295 - Perm Euler

Cerinţa

Indicatorul lui Euler, φ(n) – câteodată numit funcția phi, e folosit pentru a determina câte numere pozitive mai mici decât n care sunt relativ prime cu n există. De exemplu, cum 1, 2,4, 5, 7 și 8 sunt toate mai mici decât 9 și sunt relativ prime la 9, φ(9)=6. Numărul 1 e considerat a fi relativ prim cu toate numerele naturale, deci φ(1)=1. În mod interesant, φ(87109)=79180, și se poate observa că 87109 e o permutare a lui 79180.

Se consideră un șir de cel mult 10000 de numere naturale distincte mai mici decât 10.000.000. Să se scrie un program care găsește valoarea lui n, pentru care φ(n) e o permutare a lui n și fracția n/φ(n) are valoare minimă. Dacă sunt mai multe valori cu aceeași proprietate atunci se scrie prima valoare din șir. Dacă nu sunt valori cu proprietatea menționată se va scrie valoarea 0.

Date de intrare

Fișierul de intrare permeuler.in conține pe prima linie cel mult 10000 de numere naturale distincte mai mici decât 10.000.000, separate prin spații.

Date de ieşire

Dacă datele sunt introduse corect, în fișier se va afișa:"Datele sunt introduse corect.", apoi pe un rând nou fișierul de ieșire permeuler.out va conține primul număr x pentru care φ(x) e o permutare a lui x și fracția x/φ(x) are valoare minimă. În cazul în care datele nu respectă restricțiile, se va afișa în fișier:"Datele nu corespund restricțiilor impuse.".

Restricții și precizări

• în fișier sunt cel mult 10000 de numere
• numerele de pe prima linie a fișierului de intrare vor fi mai mici decât 10.000.000

Exemplu

permeuler.in

1000 345 21 34567 5678 63 345678 1234

permeuler.out

Datele sunt introduse corect.

21

Explicație

În fișierul de intrare sunt 2 numere care îndeplinesc proprietatea cerută de problemă: 21 care are φ(21)=12 și raportul 21/φ(21)=1.75 și 63 care are φ(63)=36 și raportul 63/φ(63)=1.75. În fișierul de ieșire va fi scrisă valoarea 21.

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line>

1. Funția de verificare a datelor de intrare

def validare_date(numere):

   if len(numere) > 10000:
       return False
   if not all(0 < n < 10000000 for n in numere):
       return False
   if len(set(numere)) != len(numere):
       return False
   return True

1. Funcția calculează indicatorul lui Euler pentru n

def phi(n):

   rezultat = n
   i = 2

   while i * i <= n:
       if n % i == 0:
           while n % i == 0:
               n //= i
           rezultat -= rezultat // i
       i += 1

   if n > 1:
       rezultat -= rezultat // n

   return rezultat

1. Funcția verifică dacă numerele a este o permutare a lui b și invers

def este_permutare(a, b):

   dict_a = {c: str(a).count(str(c)) for c in range(10)}
   dict_b = {c: str(b).count(str(c)) for c in range(10)}
   return dict_a == dict_b

if __name__ == '__main__':

   with open('permeuler.in', 'r') as f:
       numere = list(map(int, f.readline().split()))

       # Verificăm dacă datele de intrare sunt valide
       if not validare_date(numere):
           f.write("Datele introduse nu  corespund restrictiilor impuse.")
           exit(1)

   minimul_raportului = float('inf')
   rezultat = 0
   # Parcurgem fiecare număr din lista și calculăm indicatorul Euler pentru acesta
   for n in numere:
       phin = phi(n)
       raport = n / phin
       # Verifică dacă n și indicator_n sunt permutări una a celeilalte și dacă raportul este minim
       if este_permutare(n, phin) and raport < minimul_raportului:
           minimul_raportului = raport
           rezultat = n
   #Deschidem fișierul și afișăm mesajul de confirmare si rezultatul
   with open('permeuler.out', 'w') as f:
       f.write("Datele sunt introduse corect.\n")
       f.write(str(rezultat))

</syntaxhighlight>