15685: Difference between revisions

Revision as of 15:00, 1 November 2024

15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc, Baia Mare)

Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ , cu $\angle A\ =90^{\circ }$ și $\angle B\ =30^{\circ }$ . Punctul $D$ aparține laturii $BC$ astfel încât $AD\perp BC$ , punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ , iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$ . Arătați că $DE\perp AM$ .

Soluție Deoarece $AM$ este mediana în triunghiul dreptunghic $ABC$ avem $AM=BM=CM$ . Din $AM=BM$ rezultă că $\triangle AMB\$ este isoscel și, cum $ME\perp AB$ , $ME$ este bisectoarea unghiului $AMB$ . Cum $\angle B\ =30^{\circ }$ și $ME\perp AB$ obținem $\angle EMB\ =60^{\circ }$ , de unde $\angle AME\ =60^{\circ },(1)$ . Pe de altă parte $\angle AMC\$ este unghi exterior triunghiului $AMB$ și atunci $\angle AMC\ =60^{\circ },(2)$ . Din $(1)$ și $(2)$ deducem că $MA$ este bisectoarea unghiului $DME,(3)$ .

Din $AM=CM$ și $\angle AMC\ =60^{\circ }$ rezultă că $\triangle AMC\$ este echilateral și, cum $AD\perp BC$ , deducem că $D$ este mijlocul segmentului $CM$ , deci $DM=CM/2,(4)$ . Din $\triangle BEM\$ este dreptunghic și $\angle B\ =30^{\circ }$ obținem $ME=BM/2,(5)$ . Cum $CM=BM$ , din $(4)$ și $(5)$ rezultă $DM=EM$ , adică $\triangle DME\$ este isoscel. De aici și din $(3)$ rezultă $MA\perp DE$ .

Revision as of 14:33, 16 January 2024 edit Petras.du.ioana (talk \| contribs) 190 edits No edit summary ← Older edit		Revision as of 15:00, 1 November 2024 edit undo Andrei.Horvat (talk \| contribs) 384 edits No edit summary Newer edit →
Line 1:		Line 1:
	''' 15685(Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc, Baia Mare)'''		''' 15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc, Baia Mare)'''

	''Se consideră triunghiul dreptunghic <math> ABC </math>, cu <math> \angle A\ = 90^\circ </math> și <math> \angle B\ = 30^\circ </math>. Punctul <math>D</math> aparține laturii <math> BC </math> astfel încât <math> AD \perp BC </math>, punctul <math> M </math> este mijlocul segmentului <math> BC </math>, iar punctul <math> E </math> aparține laturii <math> AB </math> astfel încât <math> ME \perp AB </math>. Arătați că <math> DE \perp AM </math>.''		''Se consideră triunghiul dreptunghic <math> ABC </math>, cu <math> \angle A\ = 90^\circ </math> și <math> \angle B\ = 30^\circ </math>. Punctul <math>D</math> aparține laturii <math> BC </math> astfel încât <math> AD \perp BC </math>, punctul <math> M </math> este mijlocul segmentului <math> BC </math>, iar punctul <math> E </math> aparține laturii <math> AB </math> astfel încât <math> ME \perp AB </math>. Arătați că <math> DE \perp AM </math>.''