2129 - Prime 1

Cerința

Eu sunt fascinată de numerele prime. Consider că numerele prime sunt “scheletul” tuturor numerelor sau “atomii” acestora, pentru că orice număr natural mai mare decât 1 poate fi scris ca un produs de numere prime. Recent am aflat şi alte proprietăţi interesante legate de numerele prime, de exemplu:

1. În şirul Fibonacci există o infinitate de numere prime. Vă mai amintiţi şirul Fibonacci? 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Este şirul în care fiecare termen, exceptând primii doi, se obţine ca suma celor doi termeni care îl precedă.
2. Există numere naturale denumite „economice”. Un număr natural este economic dacă numărul de cifre necesare pentru scrierea sa este mai mare decât numărul de cifre necesare pentru scrierea descompunerii sale în factori primi (adică decât numărul de cifre necesare pentru scrierea factorilor primi şi a puterilor acestora). De exemplu 128 este economic pentru că 128 se scrie cu 3 cifre, iar descompunerea sa în factori primi se scrie cu două cifre (2^7); 4374 este economic pentru că se scrie cu 4 cifre, în timp ce descompunerea sa în factori primi se scrie cu 3 cifre (2*3^7). Observaţi că atunci când un factor prim apare la puterea 1, aceasta nu este necesar să fie scrisă.
3. Multe numere naturale pot fi scrise ca sumă de două numere prime. Dar nu toate. De exemplu, 121 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural n şi o secvenţă de n numere naturale, apoi rezolvă următoarele cerinţe:

1. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată sunt numere prime din şirul Fibonacci;
2. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată sunt numere economice;
3. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată nu pot fi scrise ca sumă de două numere prime.

Date de intrare

Fișierul de intrare prime1.in conține pe prima linie un număr natural c care reprezintă cerinţa (1 , 2 sau 3). Pe a doua linie se află numărul natural n. Pe a treia linie se află o secvenţă de n numere naturale separate prin spaţii.

Date de ieșire

Pe ecran se va afișa mesajul: "Datele de intrare corespund restricțiilor impuse."

Pe următorul rând se va afișa răspunsul la cerinţa din fişierul de intrare.

În cazul în care datele introduse de la tastatură nu îndeplinesc cerințele enunțate, pe ecran se va afișa mesajul "Datele de intrare nu corespund restricțiilor impuse."

Restricții și precizări

• 1 < n ≤ 50
• Dacă c=1 sau c=3 numerele naturale din şir sunt mai mari decât 1 şi mai mici decât 10^7.
• Dacă c=2 numerele naturale din şir sunt mai mari decât 1 şi mai mici decât 10^14. Pentru rezolvarea corectă a cerinţei 1 se acordă 20 de puncte; pentru rezolvarea corectă a cerinţei 2 se acordă 50 de puncte, iar pentru rezolvarea corectă a cerinţei 3 se acordă 30 de puncte.

Exemplu 1

Intrare

1

5

2 10 13 997 233

Ieșire

3

Explicație

Cerinţa este 1. Cele 3 numere prime din şirul Fibonacci existente în secvenţă sunt 2, 13 şi 233.

Exemplu 2

Intrare

2

4

128 25 4374 720

Ieșire

2

Explicație

Cerinţa este 2. Succesiunea conţine două numere economice (128 şi 4374).

Exemplu 3

Intrare

3

5

57 30 121 11 3

Ieșire

4

Explicație

Cerinţa este 3. Sunt 4 numere naturale din secvenţă care nu pot fi scrise ca sumă de două numere prime: 57, 121, 11, 3.

Exemplu 4

Intrare

3

5

57 -30 -121 -11 3

Ieșire

Datele de intrare nu corespund restricțiilor impuse.

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line="1">

1. 2129 Prime 1

import math

def prim(nr):

   if nr <= 1:
       return False
   if nr == 2:
       return True
   if nr % 2 == 0:
       return False

   for i in range(3, int(math.sqrt(nr)) + 1, 2):
       if nr % i == 0:
           return False

   return True

def suma_cifre(nr):

   cifre = [int(x) for x in list(str(nr))]
   return sum(cifre)

def suma_factori_cifre(nr):

   suma = 0
   factor = 2

   while nr > 1:
       e = 0

       if nr % factor == 0:
           while nr % factor == 0:
               nr //= factor
               e += 1
           suma += suma_cifre(factor)
           if e > 1:
               suma += suma_cifre(e)
       factor += 1

       if factor ** 2 > nr:
           factor = nr

   return suma

def prime_suma(nr):

   if nr % 2 == 0:
       return False
   elif prim(nr - 2):
       return False

   return True

def cerinte(c, n, numere):

   if not n == len(numere):
       return False
   if not 1 < n <= 50:
       return False

   if c == 1 or c == 3:
       for nr in numere:
           if not 1 < nr < 10**7:
               return False

   return True

def c_prim_fibonacii(numere):

   nr = 0
   fibonacii = {0}
   a, b = 1, 1

   while a < 10 ** 7:
       fibonacii.add(a)
       temp = a
       a = b
       b += temp

   for numar in numere:
       if numar in fibonacii and prim(numar):
           nr += 1

   return nr

def c_economice(numere):

   nr = 0
   for numar in numere:
       nd = suma_cifre(numar)
       nde = suma_factori_cifre(numar)

       if nd > nde:
           nr += 1

   return nr

def c_not_suma(numere):

   nr = 0
   for numar in numere:
       if prime_suma(numar):
           nr += 1

   return nr

def main():

   c = int(input())
   n = int(input())
   numere = [int(x) for x in input().split()]

   if not cerinte(c, n, numere):
       return print("Datele de intrare nu corespund restricțiilor impuse.")
   print("Datele de intrare corespund restricțiilor impuse.")

   if c == 1:
       print(c_prim_fibonacii(numere))

   elif c == 2:
       print(c_economice(numere))

   elif c == 3:
       print(c_not_suma(numere))

if __name__ == "__main__":

   main()

</syntaxhighlight>