P:1793

P:1793 (Ioana Roman)

Determinați cel mai mic număr de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care are loc egalitatea $1+{\overline {abcd}}=88\times {\overline {cd}}$.

Soluție

Egalitatea din enunț se scrie în mod echivalent $1+{\overline {ab}}\times 100+{\overline {cd}}=88\times {\overline {cd}}$, ceea ce conduce la

$${\overline {ab01}}=87\times {\overline {cd}}.$$

Cum doar produsul $7\times 3$ are ultima cifră egală cu $1$, deducem că $d=3$.

Avem produsele

$$87\times 13=1131$$

$$87\times 23=2001$$

$$87\times 33=2871$$

$$87\times 43=3741$$

$$87\times 53=4611$$

$$87\times 63=5481$$

$$87\times 73=6351$$

$$87\times 83=7221$$

$$87\times 93=8091$$

de unde deducem că doar produsul $87\times 23=2001$ este cel care corespunde.

În concluzie, unicul număr de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care are loc egalitatea $1+{\overline {abcd}}=88\times {\overline {cd}}$ este

$${\overline {abcd}}=2023.$$