P:1792: Difference between revisions

Latest revision as of 12:23, 16 August 2025

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural ${\overline {ab}}$ pentru care $a\times {\overline {b00b}}+{\overline {aa}}=2024$ .

Soluție

Evident, cifrele $a$ și $b$ sunt diferite de $0$ .

Din ${\overline {b00b}}<2024$ se obține $b\leq 2$ , deci cifra $b$ poate lua valorile $1$ sau $2$ .

Egalitatea din enunț se poate scrie în forma echivalentă $a\times b\times 1001+a\times 11=2024$ . Cum $1001=11\times 91$ și $2024=11\times 184$ , fiecare termen se împarte cu $11$ și se obține $a\times b\times 91+a=184$ .

Pentru $b=1$ , egalitatea de mai sus devine $91\times a+a=184$ , ceea ce conduce la $92\times a=184$ , ecuație ce are soluția $a=2$ .

Pentru $b=2$ , egalitatea de mai sus devine $182\times a+a=184$ , ceea ce conduce la egalitatea $183\times a=184$ pentru care nu există $a$ , număr natural, care să o satisfacă.

În concluzie, avem ${\overline {ab}}=21$ .

@@ Line 13: / Line 13: @@
 Pentru <math>b=1</math>, egalitatea de mai sus devine <math>91 \times a +  a = 184</math>, ceea ce conduce la <math>92 \times a = 184</math>, ecuație ce are soluția <math>a=2</math>.
-Pentru <math>b=2</math>, egalitatea de mai sus devine <math>182 \times a +  a = 184</math>, ceea ce conduce la egalitatea <math>183 \times a = 184</math>  pentru care nu există <math>a</math> număr natural care să o satisfacă.
+Pentru <math>b=2</math>, egalitatea de mai sus devine <math>182 \times a +  a = 184</math>, ceea ce conduce la egalitatea <math>183 \times a = 184</math>  pentru care nu există <math>a</math>, număr natural, care să o satisfacă.
+În concluzie, avem <math>\overline{ab}=21</math>.