S:E18.122

S:E18.122 (Florin Bojor)

Verificați dacă numărul $a={1^{{3}^{{5}^{{\cdots }^{2019}}}}}+{3^{{5}^{{7}^{{\cdots }^{2019}}}}}+{5^{{7}^{{9}^{{\cdots }^{2019}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019$ este divizibil cu $10$.

Soluție.

Notăm cu $u\left(n\right)$ ultima cifră a numărului natural $n$, iar prin ${\overline {n}}$ notăm numărul $n^{{n+2}^{{n+4}^{\ldots 2019}}}$. Cu această notație, avem

$$a={\overline {1}}+{\overline {3}}+{\overline {5}}+\ldots +{\overline {2019}}$$

este o sumă cu 1010 tremeni.

Dacă $u\left(n\right)=1$, atunci $u\left(n^{x}\right)=1$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$. Deci

$$u\left({\overline {1}}\right)=u\left({\overline {11}}\right)=u\left({\overline {21}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2011}}\right)=1$$

Dacă $u\left(n\right)=5$, atunci $u\left(n^{x}\right)=5$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$. Deci

$$u\left({\overline {5}}\right)=u\left({\overline {15}}\right)=u\left({\overline {25}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2015}}\right)=5$$

Cum $u\left(9^{2x+1}\right)=9$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$, avem că

$$u\left({\overline {9}}\right)=u\left({\overline {19}}\right)=u\left({\overline {29}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2019}}\right)=9$$