26927: Difference between revisions
Created page with "'''26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)''' ''Polinomul <math>f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]</math> are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math>. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.'' '''Soluție.''' Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent..." |
mNo edit summary |
||
| Line 5: | Line 5: | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1</math>. | Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>. | ||
Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție. | Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție. | ||
Revision as of 08:29, 19 January 2025
26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)
Polinomul are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea . Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.
![{\displaystyle f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in \mathbb {R} \left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86b6cc884fa479fee4a9702cd8a929ec07fdced)
Soluție.
Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este echivalent cu .
Presupunem prin absurd că . Dintre numerele , , , cel puțin două au același semn; fie acestea Failed to parse (syntax error): {\displaystyle x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2} . Atunci , de unde . Cum și , prin însumarea celor trei relații obținem , ceea ce duce la o contradicție.
