E:15346

E:15346 (Mihai Vijdeluc și Vasile Ienuțaș, Baia Mare)

a) Calculați $1^{3}+1^{3}+5^{3}+6^{3}-7^{3}$.

b) Arătați că $5^{2018}+6^{2018}<7^{2018}$

Soluție.

a) $1^{3}+1^{3}+5^{3}+6^{3}-7^{3}=0$.

b) Din punctul a) putem scrie $1^{3}+1^{3}+5^{3}+6^{3}=7^{3}$ sau $\left({\frac {1}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {1}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {5}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {6}{7}}\right)^{3}=1$.

Acum $\left({\frac {1}{7}}\right)^{2018}<\left({\frac {1}{7}}\right)^{3},\left({\frac {5}{7}}\right)^{2018}<\left({\frac {5}{7}}\right)^{3},\left({\frac {6}{7}}\right)^{2018}<\left({\frac {6}{7}}\right)^{3}$, de unde $\left({\frac {1}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {1}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {5}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {6}{7}}\right)^{2018}<\left({\frac {1}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {1}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {5}{7}}\right)^{3}+\left({\frac {6}{7}}\right)^{3}.$

Obținem astfel $\left({\frac {1}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {1}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {5}{7}}\right)^{2018}+\left({\frac {6}{7}}\right)^{2018}<1$ sau $1^{2018}+1^{2018}+5^{2018}+6^{2018}<7^{2018}$.

Deoarece $5^{2018}+6^{2018}<1^{2018}+1^{2018}+5^{2018}+6^{2018}<7^{2018}$, inegalitatea este demonstrată.