15347

E:15347 (Meda Bojor, Baia Mare)

Determinați numerele prime $p,q,r,s$ pentru care este adevărată relația $p\cdot q\cdot r\cdot s=26(p+q+r+s)$.

Soluție.

Deoarece $26\mid p\cdot q\cdot r\cdot s$ și $p,q,r,s$ sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este $2$, iar altul este $13$.

Fie $p=2$ și $q=13$. Atunci relația devine $r\cdot s=r+s+15$ sau $r\cdot s-r-s+1=16$, pe care o putem scrie: $(r-1)(s-1)=16$.

Cum $r$ și $s$ sunt numere prime, găsim $r=s=5$. Dacă alegeam $p=2$ și $r=13$, găseam $q=s=5$, și așa mai departe; toate combinațiile posibile.