E:14763

E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele prime $p$ și $q$, cu $p>q$, știind că $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$.

Soluție

Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ este echivalent ă cu $p\left(p^{2}-1-3pq\right)=q\left(q^{2}+1-3pq\right)$. Cum numerele $p$ și $q$ sunt prime, se deduce că $p\,|\,q^{2}+1-3pq$, respectiv $q\,|\,p^{2}-1-3pq$, deci $p\,|\,q^{2}+1$ și $q\,|\,p^{2}-1$.

Pentru $2=q<p$, egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ devine $6p^{2}+10=p\left(p^{2}+11\right)$, ceea ce implică

pe de o parte $p\,|\,10$, deci $p=5$, valoare care nu convine, sau

pe de altă parte $p^{2}+11\,|\,6p^{2}+10$, ceea ce conduce la $p^{2}\in \left\{3,17,45\right\}$, valori care nu convin.

Pentru $2<q<p$, considerăm că $p$ este un număr prim de forma $3k+1$ sau $3k+2$, cu $k\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}$. Atunci $p^{2}-1\in {\mathcal {M}}_{3}$. Din $q\,|\,p^{2}-1$ și $q$ număr prim, rezultă $q=3$. Acum $p\,|\,q^{2}+1$ revine la $p\,|\,10$, cu $p>3$, deci $p=5$.

Numerele căutate sunt $p=5$ și $q=3$.

Observație: Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ revine la $p+q=\left(p-q\right)^{3}$