E:14763: Difference between revisions

Revision as of 16:34, 18 December 2024

E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele prime $p$ și $q$ , cu $p>q$ , știind că $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ .

Soluție

Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ este echivalent ă cu $p\left(p^{2}-1-3pq\right)=q\left(q^{2}+1-3pq\right)$ . Cum numerele $p$ și $q$ sunt prime, se deduce că $p\,|\,q^{2}+1-3pq$ , respectiv $q\,|\,p^{2}-1-3pq$ , deci $p\,|\,q^{2}+1$ și $q\,|\,p^{2}-1$ .

Pentru $2=q<p$ , egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ devine $6p^{2}+10=p\left(p^{2}+11\right)$ , ceea ce implică

pe de o parte $p\,|\,10$ , deci $p=5$ , valoare care nu convine, sau

pe de altă parte $p^{2}+11\,|\,6p^{2}+10$ , ceea ce conduce la $p^{2}\in \left\{3,17,45\right\}$ , valori care nu convin.

Pentru $2<q<p$ , considerăm că $p$ este un număr prim de forma $3k+1$ sau $3k+2$ , cu $k\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}$ . Atunci $p^{2}-1\in {\mathcal {M}}_{3}$

Observație: Egalitatea $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$ revine la $p+q=\left(p-q\right)^{3}$

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție'''
-Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime,
+Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime, se deduce că  <math>p\,  | \, q^2 + 1 - 3pq </math>, respectiv <math>q\,  | \, p^2 - 1 - 3pq </math>, deci <math>p\,  | \, q^2 + 1 </math> și <math>q\,  | \, p^2 - 1 </math>.
+Pentru <math>2=q < p</math>, egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' devine <math>6p^2 + 10 = p \left( p^2 + 11 \right)</math>, ceea ce implică
+pe de o parte  <math>p \, | \, 10</math>, deci <math> p = 5</math>, valoare care nu convine, sau
+pe de altă parte <math>p^2 + 11 \, | \, 6p^2 + 10</math>, ceea ce conduce la <math>p^2 \in \left\{3,17,45\right\}</math>, valori care nu convin.
+Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>
 '''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>