14682: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
'''Enunț:''' | '''Enunț:''' | ||
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC. | ''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.'' | ||
Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.'' | ''Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.'' | ||
'''Soluție:''' | '''Soluție:''' | ||
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math> este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC. | Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math> este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC. | ||
Revision as of 17:48, 16 January 2024
14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Enunț: Se consideră triunghiul ABC în care . Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.
Dacă , arătați că BM = MC.
Soluție:
Notăm și . Avem și , din ipoteză. Atunci de unde . Pe de altă parte avem ca unghi exterior . Cum AM = AC vom avea . Acum în avem , de unde , apoi și . Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.
