28163

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule $(a_{n})_{n\geq 1}$ pentru care ${\frac {1}{(1+a_{1})\cdot a_{a_{1}}}}+{\frac {1}{(1+a_{2})\cdot a_{a_{2}}}}+\ldots +{\frac {1}{(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}}}={\frac {n}{n+1}}$, pentru orice $n\geq 1$.

Soluție:

Dacă $n=1$, egalitatea din enunț devine $(1+a_{1})\cdot a_{a_{1}}=2$, de unde obținem $a_{1}=1$.

Dacă $n\geq 2$, scriind egalitatea din enunț pentru $n-1$ și scăzând-o din relația inițială, obținem

$${\frac {1}{(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}}}={\frac {n}{n+1}}-{\frac {n-1}{n}}={\frac {1}{n(n+1)}},$$

deci $(1+a_{n})\cdot a_{a_{n}}=n(n+1)$ pentru orice $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$. (1)

Demonstrăm, folosind inducția tare, că $a_{n}=n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Etapa de verificare este evidentă.

Fie $k\in \mathbb {N}$, $k\geq 2$. Presupunem că $a_{t}=t$, pentru orice număr natural $t$ cu $t\in \{1,2,...,k-1\}$ și arătăm că $a_{k}=k$.
I. Dacă $a_{k}=s<k$, din ipoteza de inducție rezultă $a_{a_{k}}=a_{s}=s<k$. Din relația (1) obținem

$$k(k+1)=(1+a_{k})\cdot a_{a_{k}}=s(s+1)<k(k+1),$$

fals.

II. Dacă $a_{k}=s>k$, din (1) deducem:

$$a_{s}=a_{a_{k}}={\frac {k(k+1)}{1+a_{k}}}={\frac {k(k+1)}{s+1}},$$

deci $a_{s}=k\cdot {\frac {k+1}{s+1}}<k$. (2)

Din ipoteza de inducție rezultă că $a_{a_{s}}=a_{s}={\frac {k(k+1)}{s+1}}$.
Din relația (1) obținem că $a_{a_{s}}={\frac {s(s+1)}{a_{s}+1}}$, deci ${\frac {k(k+1)}{s+1}}={\frac {s(s+1)}{1+a_{s}}}$.
Așadar, $1+a_{s}={\frac {s(s+1)}{k(k+1)}}\cdot (s+1)>s+1$, adică $a_{s}>s>k$, contradicție cu inegalitatea (2).
Din I și II deducem că $a_{k}=k$. Conform principiului inducției, rezultă că $a_{n}=n$, pentru orice număr natural $n$. Pentru acest șir, egalitatea din enunț devine o identitate, așadar soluția problemei este șirul cu termenul general $a_{n}=n$.