14683: Difference between revisions

Revision as of 11:58, 16 January 2024

14683 (Răzvan Ceuca)

Enunț Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă $2^{x}+3^{y}=2^{y}+3^{x}$ , atunci x = y.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $2^{x}-2^{y}=3^{x}-3^{y}$ . Presupunem că $x\neq y$ ; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$ . Avem $2^{y}<3^{y}$ și $2^{x-y}-1<3^{x-y}-1$ , de unde $2^{y}(2^{x-y}-1)<3^{y}(3^{x-y}-1)$ , ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''14683 (Răzvan Ceuca)'''
-''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
+'''Enunț'''
-<ol style="list-style-type:lower-roman">
+Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.
-  <li><i><math>AB = BA;</math></i></li>
-  <li><i>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă.<br>Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</i></li>
-</ol>
 '''Soluție:'''
@@ Line 11: / Line 10: @@
 Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x &lt; y sau x &gt; y.
-Dacă x &gt; y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.
+Dacă x &gt; y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.
-Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.
-Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.