14683: Difference between revisions

Revision as of 11:52, 16 January 2024

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),} care verifică simultan condițiile:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB = BA;}
matricea $A$ este nilpotentă și matricea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} este inversabilă.
Arătați că ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AX + XA = B} nu are soluții în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{C})} .

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^x - 2^y = 3^x - 3^y} . Presupunem că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \neq y} ; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)} .

Avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^y < 3^y} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 } , de unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)} , ceea ce este fals.

Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x &eq; y.

@@ Line 11: / Line 11: @@
 Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x &lt; y sau x &gt; y.
-Dacă x &gt; y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.
+Dacă x &gt; y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.
+Avem <math>2^y &lt; 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 &lt; 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) &lt; 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.
+Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x &eq; y.