15678

15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați toate numerele de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care

$${\overline {abcd}}=2021+5(a-c+b-d+1).$$

Soluție: Ultima cifră numărului $5(a-c+b-d+1)$ poate fi $0$ sau $5$. Atunci ultima cifră a numărului $2021+5(a-c+b-d+1)$ poate fi $1$ sau $6$, de unde deducem că $d=1$ sau $d=6$.

1. Pentru $d=1$ relația devine ${\overline {abcd}}=2021+5(a-c+b)$. Deoarece $a-c+b\leq 18$ avem $2021+5(a-c+b)\leq 2111$ și, cum ${\overline {abcd}}=2021+5(a-c+b)$, obținem $a\leq 2$.

Pentru $a=2$ relația dată devine ${\overline {2bc1}}=2021+5(2-c+b)$ sau $2001+100b+10c=2031-5c+5b$, de unde $95b+15c=30$.

De aici $b=0$ și $c=2$. Numărul căutat este $2021$.

Pentru $a=1$ nu obținem nicio soluție.

2. Pentru $d=6$ relația dată devine ${\overline {abc6}}=2021+5(a-c+b-5)$. Deoarece $a-c+b-5\leq 13$ avem $2021+5(a-c+b)\leq 2086$ și cum ${\overline {abc6}}=2021+5(a-c+b-5)$, obținem $a\leq 2$.

Pentru $a=2$ relația dată devine ${\overline {2bc6}}=2021+5(2-c+b-5)$ sau $2006+100b+10c=2006-5c+5b$, de unde $95b+15c=0$. De aici $b=0$ și $c=0$. Numărul căutat este $2006$.

Pentru $a=1$ nu obținem nicio soluție.