E:14331: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
'''E: | '''E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | ||
''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.'' | ''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.'' | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci <math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime, <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math> Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a </math> și <math>b </math> trebuie să fie <math>2</math>. | Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci <math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime, <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math> Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a </math> și <math>b </math> trebuie să fie <math>2</math>. | ||
Latest revision as of 11:41, 2 November 2024
E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Fie un număr natural. Arătați că numărul nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.
Soluție.
Avem . Deoarece și sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci este număr impar. Presupunem că există două numere prime, și astfel încât Din cele de mai sus unul dintre numere și trebuie să fie .
Alegem Atunci,
Cum și sunt mai mari ca în condițiile date, rezultă nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.
